به‌هر‌صورت، برای عملکرد موفق در یک سطح، یادگیرنده باید استراتژی‌های مورد نیاز را در سطوح قبلی یادگرفته باشد.

• عدم وابستگی به سن

سطوح تفکر هندسی ون هیلی، وابسته به سن نیستند و در عوض، بستگی به تجربیاتی دارند که دانش‌آموزان کسب کرده‌اند. به عبارت دیگر، فرایند توسعه از یک مرحله به مرحله دیگر، بیش تر از آن که به سن وابسته باشد، به آموزش و روش‌های آموزشی وابسته است. نکته مهم این است که تجربیات هندسی، عامل مؤثری برای پیشرفت در این سطوح است.

• مجاورت^۱

ون‌هیلی‌ها تأکید می‌کنند که این سطوح، به وسیله تفاوت در موضوع تفکر، از یکدیگر تمییز داده می‌شوند، و موضوع های ذاتی در یک سطح، موضوعات مورد مطالعه در سطوح بعدی می‌شوند. برای مثال، در سطح ۱، فقط شکل ظاهری درک می‌شود. در حالی که یک شکل، به وسیله خواص خود تعیین می‌گردد که این مطلب، تا سطح ۲ که یک شکل به وسیله اجزا و مؤلفه‌‌هایش تجزیه و تحلیل می‌شود و خواص آن کشف می‌گردد، به دست نمی‌آید.

• افتراق^۲

هر سطح نشانه های زبانی مخصوص به خود را دارد و یک شبکه ارتباطی آن نشانه ها رابه هم متصل می‌کند (یوسسکین، ۱۹۸۲ ). بعضی بر این ویژگی اشکال گرفته‌اند. آن‌ ها معتقد هستند که نمی‌توان مرز خاصی بین این

۱ adjacency

۲ distinction

سطوح قائل شد. زیرا عوامل اثبات مثل تفسیر، کشف و بازبینی در سطوح پایین‌تر از سطح سوم نیز می‌توانند معنی‌ دار باشند و این موضوع تأیید می‌کند که استدلال‌ها از یک طبیعت دیداری یا بصری برخوردار هستند (ویلرز، ۲۰۰۴ ؛ به نقل از تامپسون، ۲۰۰۶).

• جدا سازی

دو شخص که در سطوح متفاوت استدلال قرار دارند نمی‌توانند همدیگر را درک کنند. اگر در یک کلاس درس، معلم و سایر دانش‌آموزان در سطوح متفاوتی از تفکر باشند، با نمادهای مختلف زبانی و شبکه ­های ارتباطی متفاوتی با هم ارتباط برقرار ‌می‌کنند و در نتیجه نه معلم، نه دانش‌آموز، همدیگر را درک نمی­کنند(میسون، ۱۹۹۸).

• نقش معلم

ون‌هیلی‌ها، تأکید زیادی بر نقش آموزش و اهمیت کسب تجریه توسط یادگیرنده، برای سهولت عبور از یک سطح به سطج دیگر دارند. این امر، با نقش‌آفرینی معلم از طریق طراحی فعالیت‌های مناسب برای یادگیرنده‌های سطوح مختلف امکان‌پذیر است.

۲-۵-۳ مراحل آموزشی نظریه ون هیلی

بخشی از کار دینا ون‌هیل گلدوف درباره تئوری ون‌هیلی شامل پنج مرحله آموزشی است. این مراحل برای معلمان طراحی شده تا به دانش‌آموزان کمک کند که از یک مرحله به مرحله بعدی بروند (فویز و همکاران، ۱۹۸۴). دینا ون‌هیل ( ۱۹۵۷ ) زمان زیادی روی دوره های درسی در چندین سال برای آزمودن، تعداد وسیعی از دانش‌آموزان در حمایت از مفروضات اولیه‌اش درباره پیشرفت سطوح گذاشت (فریکولم، ۱۹۹۴). پیر ون‌هیل و دینا ون‌هیل بر خلاف پیاژه که معتقد بود پیشرفت در یادگیری با بالا رفتن سن تقویمی ارتباط مستقیم دارد، با این نکته موافق بودند که آموزش نقش مهمی در پیشرفت دانش‌آموزان بین سطوح دارد.

این مراحل به صورت زیر است:

۱ Information

۲ Direct Orientation

۳ Explicitation

1. 1. مرحله­ کسب اطلاعات^۱

1. 1. مرحله­ جهت‌دهی^۲

1. 1. مرحله­ شفاف‌سازی^۳

1. 1. مرحله­ جهت­گیریِ آزاد^۱

1. مرحله­ جمع‌بندی^۲

• مرحله­ کسب اطلاعات

در این مرحله معلم و دانش ­آموزان، مشغول گفتگو و فعالیت ‌در مورد موضوعات مورد مطالعه می­شوند. مشاهدات صورت می‌پذیرد، سؤالات پرسیده می­ شود و عباراتِ مخصوص سطح، معرفی می­گردند (هافر، ۱۹۸۳، به نقل از کراولی، ۱۹۸۷). به عنوان مثال معلم از دانش‌آموزان می­پرسد، لوزی چیست؟ مربع چیست؟ متوازی­الاضلاع چیست؟ آیا این‌ها شبیه هم هستند؟ آیا متفاوتند؟ آیا فکر می‌کنید که یک مربع می ­تواند لوزی هم باشد؟ آیا یک لوزی می ­تواند مربع هم باشد. یا اینکه معلم دسته­ای از متوازی­الاضلاع­ها را به شاگردان نشان می­دهد و از آن‌ ها می­خواهد که لوزی­ها را در آن ‌پیدا کنند (پگ، ۱۹۹۵).

طرح چنین سؤالاتی دو فایده­ی مهم دارد. اول اینکه معلم متوجه می­ شود که دانشِ اولیه­ دانش ­آموزان ‌در مورد موضوع چیست و دوم اینکه، دانش ­آموزان با جهتِ مطالعات بعدی آشنا می‌شوند(کراولی، ۱۹۸۷). به گفته­ی میسون(۱۹۹۸)، باید به دانش ­آموزان اجازه داده شود با زبان خودشان در بحث­ها شرکت کنند و معلم در این مورد کمترین دخالت لازم را داشته باشد. همچنین با بحث و پرس‌و‌جو، معلم تشخیص می‌دهد که دانش‌آموزان چه چیزی ‌در مورد موضوع می­دانند و برای موضوع جدید راهنمایی می­شوند.

۱ Free Orientation

۲ Integration

• مرحله­ جهت دهی

دانش ­آموزان مباحث را از طریق فعالیت­هایی مثل تاکردن و اندازه ­گیری توسعه می­ دهند (میسون، ۱۹۹۸). این فعالیت ها به تدریج، مشخصه‌ های ساختاری هر سطح را برای دانش آموزان، روشن می‌کنند. ‌بنابرین‏، بیش تر مواد تدریسی، به شکل تکالیف کوتاه، و به منظور استخراج پاسخ های مناسب، طراحی می‌شوند.

دانش‌آموزان از طریق این فعالیت‌ها، و به منظور درک و اکتشاف مفاهیم و روش‌های هندسی مربوط، با موضوعات مناسب سروکار پیدا می‌کنند. نقش معلم در این مرحله، باید به عنوان هدایت کننده‌ فعالیت‌های دانش‌آموزان و ارائه‌ راهنمایی‌های مناسب به آن‌ ها به گونه‌ای باشد که به دانش‌آموزان، در کشف و انجام تکلیف طراحی شده، کمک کند (ریحانی، ۱۳۸۴).

• مرحله­ شفاف سازی

در این مرحله دانش‌آموزان آموخته­های خویش از موضوع را بازبان خود بیان ‌می‌کنند و معلم اصطلاحات ریاضی مربوطه را معرفی می­ کند(میسون، ۱۹۹۸). دانش آموز از روابط آگاه می‌شود و تلاش می­ کند که آن‌ ها را با کلمات و زبان فنی که با موضوع یاد می‌گیرد مرتبط کند. دانش‌آموزان آنچه را که ‌در مورد موضوع آموخته­اند با بهره گرفتن از زبان خود توصیف می‌کنند. به عنوان مثال، دانش‌آموزان ممکن است ‌در مورد آنچه که ‌در مورد خواص لوزی کشف شده است، بحث کنند. معلم اصطلاحات فنیِ در ارتباط با موضوع را به منظور ترویجِ ارتباطات دقیق در میان دانش ­آموزان، معرفی می­ کند. در این مرحله است که ارتباط­ سطوح، شروع به ظاهر شدن می‌کند(کراولی، ۱۹۸۷).

• مرحله­ جهت­گیری آزاد

در این مرحله دانش ­آموز می‌تواند مسئله­ داده شده رابا روش­های مختلفی که می‌تواند، حل کند. فعالیت­های این مرحله به گونه ­ای طراحی می­ شود که دانش ­آموزان را برای حل مسائلی آماده می­ کند که دارای چندین پاسخ هستند و آن‌ ها تشویق می‌شوند که راه حل خود را از بین شبکه ­ای از مفاهیم پیدا کنند(ون هیلی، ۱۹۸۶).

• مرحله­ جمع بندی

دانش ­آموزان یادگرفته­های جدید را خلاصه­سازی و یکپارچه ‌می‌کنند و شبکه­ های جدیدی از ارتباطات را توسعه می­ دهند. در این مرحله، دانش ­آموزان از زمینه ­های مطالعه آگاه می­شوند و به یک دید و نمای کلی از موضوع دست پیدا می‌کنند. آن ها اکنون حسِ روشنی از هدف مطالعه دارند و قادرهستند آنچه را که آموخته­اند خلاصه کنند و با هم تلفیق نمایند.

در پایان مرحله­ پنجم، دانش ­آموزان به سطح جدیدی از تفکر رسیده ­اند. این حوزه­ تفکر جدید، جایگزین قبلی می­ شود و دانش ­آموزان آماده­ هستند که مراحل آموزشی را در سطح بعدی تکرار کنند(کراولی، ۱۹۸۷).

۲-۶ نظریه پیاژه